若复数 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 满足：$z_1\overrightarrow{z_2}+z_2\overline{z_3}=-z_3\overline{z_4}-z_4\overline{z_1}=1, z_2+z_4\in\mathbb{R}$，则 $(z_1-z_3)(z_2+z_4)=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(9)
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
由条件知$$z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_3}=1,$$$$z_3\overline{z_4}+z_4\overline{z_1}=-1\Rightarrow \overline{z_3}z_4+\overline{z_4}z_1=\overline{z_3\overline{z_4}+z_4\overline{z_1}}=-1.$$两式相加，得$$\begin{aligned}
(z_1+\overline{z_3})(z_2+z_4)&=z_1(z_2+z_4)+\overline{z_3}(z_2+z_4)\\
&=z_1(\overline{z_2+z_4})+\overline{z_3}(z_2+z_4)\\
&=z_1\overline{z_2}+z_1\overline{z_4}+\overline{z_3}z_2+\overline{z_3}z_4\\
&=0.\\
\end{aligned}.$$当 $z_2+z_4=0$ 时，$(z_1-z_3)(z_2-z_4)=0$．
当 $z_2+z_4\neq 0$ 时，$z_1+\overline{z_3}=0\Rightarrow z_1=-\overline{z_3}\Rightarrow \overline{z_1}=-\overline{-\overline{z_3}}=-z_3$，代入条件，知 $z_3\overline{z_4}-z_4z_3=-1$，由此可知，$\overline{z_4}-z_4$ 显然不为 $0$，故 $z_3=\frac{1}{z_4-\overline{z_4}}=\frac{1}{2Im(z_4)}$ 为纯虚数，故 $z_1-z_3=z_1+\overline{z_3}=0$，同样有 $(z_1-z_3)(z_2+z_4)=0$．
(z_1+\overline{z_3})(z_2+z_4)&=z_1(z_2+z_4)+\overline{z_3}(z_2+z_4)\\
&=z_1(\overline{z_2+z_4})+\overline{z_3}(z_2+z_4)\\
&=z_1\overline{z_2}+z_1\overline{z_4}+\overline{z_3}z_2+\overline{z_3}z_4\\
&=0.\\
\end{aligned}.$$当 $z_2+z_4=0$ 时，$(z_1-z_3)(z_2-z_4)=0$．
当 $z_2+z_4\neq 0$ 时，$z_1+\overline{z_3}=0\Rightarrow z_1=-\overline{z_3}\Rightarrow \overline{z_1}=-\overline{-\overline{z_3}}=-z_3$，代入条件，知 $z_3\overline{z_4}-z_4z_3=-1$，由此可知，$\overline{z_4}-z_4$ 显然不为 $0$，故 $z_3=\frac{1}{z_4-\overline{z_4}}=\frac{1}{2Im(z_4)}$ 为纯虚数，故 $z_1-z_3=z_1+\overline{z_3}=0$，同样有 $(z_1-z_3)(z_2+z_4)=0$．
题目
答案
解析
备注
