若数列 $\{a_n\}$ 是首项非零的等差数列，则 $\lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2n}}{a_1+a_2+\ldots+a_n}$ 的所有可能值之和为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
若 $\{a_n\}$ 是常数列，设 $a_n=c$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），则$$\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2n}}{a_1+a_2+\ldots+a_n}=\frac{nc}{nc}=1.$$若 $\{a_n\}$ 的公差 $d\neq 0$，则$$\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2n}}{a_1+a_2+\ldots+a_n}=\frac{na_1+\frac{n(3n-1)}{2}d}{na_1+\frac{n(n-1)d}{2}}=\frac{3+\left(\frac{2a_1}{nd}-\frac{1}{n}\right)}{1+\left(\frac{2a_1}{nd}-\frac{1}{n}\right)}.$$此时$$\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2n}}{a_1+a_2+\ldots+a_n}=3.$$因此，$\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2n}}{a_1+a_2+\ldots+a_n}=1$ 或 $3$
题目
答案
解析
备注
