设复数 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 满足 $|z_1-z_2|=1, |z_3-z_4|=2, |z_1-z_4|=3, |z_2-z_3|=4$.则 $|(z_1-z_3)(z_2-z_4)|$ 的最大值为 .
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
【答案】
$14$
【解析】
注意到,$$\begin{aligned}
|(z_1-z_3)(z_2-z_4)|&=|z_1z_2-z_1z_4-z_3z_2+z_3z_4|=|(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_1-z_4)(z_2-z_3)|\\
&\leqslant |(z_1-z_2)(z_3-z_4)|+|(z_1-z_4)(z_2-z_3)|=1\times 2+3\times 4\\
&=14.\\
\end{aligned}$$易知上式等号可以取到,所以 $|(z_1-z_3)(z_2-z_4)|$ 的最大值为 $14$.
|(z_1-z_3)(z_2-z_4)|&=|z_1z_2-z_1z_4-z_3z_2+z_3z_4|=|(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_1-z_4)(z_2-z_3)|\\
&\leqslant |(z_1-z_2)(z_3-z_4)|+|(z_1-z_4)(z_2-z_3)|=1\times 2+3\times 4\\
&=14.\\
\end{aligned}$$易知上式等号可以取到,所以 $|(z_1-z_3)(z_2-z_4)|$ 的最大值为 $14$.
题目
答案
解析
备注