令 $S_n=a^n+b^n+c^n+d^n$，由牛顿公式得$$S_7=7(\sigma_{2}^{2}-\sigma_{4})\sigma_{3}$$，再由 $S_7=0$ 得 $\sigma_{3}=0$ 或 $\sigma_{4}=\sigma_{2}^{2}$．若 $\sigma_{3}=0$，则 $a,b,c,d$ 是方程 $t^4+\sigma{2}t^2+\sigma_{4}=0$ 的4个实数根，从而 $a$ 必与 $b,c,d$ 之一互为相反数，故 $(a+b)(a+c)(a+d)=0$；
若 $\sigma_{4}=\sigma_{2}^{2}$，则 $0\leqslant S_4=-2\sigma_{2}^{2}\leqslant 0$．得 $a=b=c=d=0$，同样有 $(a+b)(a+c)(a+d)=0$ 。