设 $\left\{\frac{x}{2}\right\}=\frac{x}{2}-\left[\frac{x}{2}\right]$ 则对任意实数 $x$，都有 $0\leqslant \left\{\frac{x}{2}\right\}<1$．原方程化为$$\sin \pi x=\left[\left\{\frac{x}{2}\right\}+\frac{1}{2}\right].$$若 $0\leqslant \left\{\frac{x}{2}\right\}<\frac{1}{2}$，则$$\sin\pi x=\left[\left\{\frac{x}{2}\right\}+\frac{1}{2}\right]=0\Rightarrow \pi x=k\pi (k\in\mathbb{Z}).$$于是，$x=k$（$k\in\mathbb{Z}$），结合 $x\in [0,2\pi]$，知 $x\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$．经检验可知，$x=0,2,4,6$ 是原方程的解．
若 $\frac{1}{2}\leqslant\{\frac{x}{2}\}<1$，则$$\sin\pi x=\left[\{\frac{x}{2}\}+\frac{1}{2}\right]=1\Rightarrow \pi x=2k\pi+\frac{\pi}{2} (k\in\mathbb{Z}).$$于是，$x=2k+\frac{1}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$），结合 $x\in[0,2\pi]$，知
$x\in\left\{\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right\}$．经过
检验可知，$x=\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{9}{2}$ 都不是原方程的解．
因此，原方程的解为 $x=0,2,4,6$，它们的和是 $12$．