设 $n$ 是小于 $100$ 的正整数，且满足 $\dfrac{1}{3}(n^{2}-1)+\dfrac{1}{5}n$ 为整数，则符合条件的所有正整数 $n$ 的和为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$635$
【解析】
因为$$\dfrac{1}{3}(n^{2}-1)+\dfrac{1}{5}n=\dfrac{15n^{2}+3n-5}{15}$$为整数，所以$$15\mid 5n^{2}+3n-5,$$于是$$5\mid n,\text {且}3\mid n^{2}-1,$$从而$$n=15k+5\text { 或 }n=15k+10,$$因此符合条件的所有正整数 $n$ 的和是：\[\begin{split}&\quad \sum\limits_{k=0}^{6}(15k+5)+\sum\limits_{k=0}^{5}(15k+10)\\&=95+\sum\limits_{k=0}^{5}(30k+15)\\&=95+\dfrac{(15+165)\times 6}{2}\\&=635.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
