已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，外接圆半径为 $1$．若 $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}=$ （用小数表示）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$-0.2$
【解析】
由条件可知，$5\overrightarrow{OC}=-(3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB})$，两边平方得$$25|\overrightarrow{OC}|^2=9|\overrightarrow{OA}|^2+16|\overrightarrow{OB}|^2+24\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB},$$又 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$，故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$．从而$$\begin{aligned}\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}&=-\frac{1}{5}(3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\
&=-\frac{1}{5}(-3|\overrightarrow{OA}|^2+4|\overrightarrow{OB}|^2-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})\\ &=-\frac{1}{5}\\
\end{aligned}$$
&=-\frac{1}{5}(-3|\overrightarrow{OA}|^2+4|\overrightarrow{OB}|^2-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})\\ &=-\frac{1}{5}\\
\end{aligned}$$
题目
答案
解析
备注
