在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A,\angle B,\angle C$ 对的边长分别为 $a,b,c$．若 $\angle A,\angle B, \angle C$ 成等差数列，$a,c,\frac{4}{\sqrt{3}}b$ 成等比数列，则 $\frac{S_{\triangle ABC}}{a^2}=$ （用小数表示，保留两位小数）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
$0.87$
【解析】
由 $\angle A, \angle B, \angle C$ 成等差数列，知 $2\angle B = \angle A+\angle C \Rightarrow 3\angle B = \angle A + \angle B+\angle C= 180^{\circ}\Rightarrow \angle B=60^{\circ}$．设 $a,c,\frac{4}{\sqrt{3}}b$ 所成等比数列的公比为 $q$，则$$c=qa, b=\frac{\sqrt{3}q^2a}{4}.$$由正弦定理，得$$\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}q^2a}{4\sin 60^{\circ}}=\frac{qa}{\sin(120^{\circ}-A)}.$$整理得$$\sin A=\frac{2}{q^2}, \cos A=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{2}{q}-\frac{1}{q^2}\right)$$又 $\sin^2A+\cos^2A=1$，整理可得$$(q-2)(3q^3+5q^2+4+(q-2)^2)=0.$$所以 $q=2$，故 $\sin A = \frac{1}{2}$．于是，$\angle A = 30^{\circ},\angle C = 90^{\circ}$．因此，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$．
题目
答案
解析
备注
