如图所示，一圆内切于边长为 $2$ 的正方形，另一个正方形内接于这个圆，然后又一圆内切于第二个正方形．如此下去，记上述前 $n$ 个圆的面积的和为 $S_n$，则 $\frac{1}{\pi}\lim_{n\to +\infty}
S_n=$ ．\begin{flushright}\end{flushright}
S_n=$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设第 $n$ 个圆的半径为 $r_n$（$n=1,2,\ldots$）．于是，第 $1$ 个圆的直径与正方形边长相等，即 $r_1=1$；第二个圆的半径 $r_2=\frac{\sqrt{2}}{2}r_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$；一般地，我们有 $r_n=\frac{\sqrt{2}}{2}r_{n-1}$（$n\geqslant 2$）．从而，$\{r_n\}$ 是一个首项为 $1$，公比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的等比数列，即 $r_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}$．因此，$$\begin{aligned}
S_n&=\pi r_1^2+\pi r_2^2+\ldots +\pi r_n^2=\pi \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\
&=2\pi \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right).\\
\end{aligned}$$故 $\lim_{n\to \infty}S_n=2\pi$．
S_n&=\pi r_1^2+\pi r_2^2+\ldots +\pi r_n^2=\pi \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\
&=2\pi \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right).\\
\end{aligned}$$故 $\lim_{n\to \infty}S_n=2\pi$．
题目
答案
解析
备注
