设 $z_n=\left(\frac{1-i}{2}\right)^n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），$\displaystyle S_n=\sum^n_{k=1}|z_{k+1}-z_k|$，则 $\lim_{n\to \infty}S_n=$ （用小数表示，保留三位小数）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
$1.707$
【解析】
因为$$z_{n+1}-z_n=\left(\frac{1-i}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-i}{2}\right)^n=\frac{-1-i}{2}\cdot \left(\frac{1-i}{2}\right)^n, (n\in\mathbb{N^{\ast}})$$所以$$|z_{n+1}-z_n|=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n+1}~~(n\in\mathbb{N^{\ast}}) ,$$即 $\{|z_{n+1}-z_n|\}$ 是以 $|z_2-z_1|=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$ 为首项，以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为公比的等比数列，故$$\lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
