不妨设 $a\geqslant b,x=\dfrac{a}{b}$，则 $1\leqslant x\leqslant 4$，且 $\dfrac{a}{10b+a}+\dfrac{b}{10a+b}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{10+\dfrac{a}{b}}+\dfrac{1}{10\cdot\dfrac{a}{b}+1}=\dfrac{x}{10+x}+\dfrac{1}{10x+1}=\dfrac{10{{x}^{2}}+2x+10}{10{{x}^{2}}+101x+10}=1-\dfrac{99x}{10{{x}^{2}}+101x+10}=1-\dfrac{99}{10\left(x+\dfrac{1}{x} \right)+101}$．因为 $1\leqslant x\leqslant 4$，当 $x=4$ 时，$10(x+\dfrac{1}{x})+101$ 取最大值 $10(4+\dfrac{1}{4})+101$．所以当 $x=4$ 时，$1-\dfrac{99}{10(x+\dfrac{1}{x})+101}$ 取最大值 $1-\dfrac{99}{10(4+\dfrac{1}{4})+101}=\dfrac{89}{287}$．所以当 $a=8,b=2$（或 $a=2,b=8$）时，$\dfrac{a}{10b+a}+\dfrac{b}{10a+b}$ 取最大值 $\dfrac {89}{287}$．