已知正实数集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{100}\}$，设集合 $S=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a-b\in A\}$，则集合 $S$ 中的元素最多有 个．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$4950$
【解析】
由 $A$ 中的元素构成的有序实数对 $(a,b)$ 共有 $100^2=10000$ 个．
因为$$a_i-a_i=0\notin A,$$所以$$(a_i,a_i)\notin S(i=1,2,\cdots ,100).$$当 $(a_i,a_j)\in S$ 时，$(a_j,a_i)\notin S$，于是集合 $S$ 中元素的个数最多为$$\dfrac 12(10000-100)=4950.$$当 $a_i=i(i=1,2,\cdots ,100)$ 时，$S$ 中元素的个数为 $4950$，因此 $4950$ 可以取到．
综上知，$S$ 中的元素最多为 $4950$ 个．
因为$$a_i-a_i=0\notin A,$$所以$$(a_i,a_i)\notin S(i=1,2,\cdots ,100).$$当 $(a_i,a_j)\in S$ 时，$(a_j,a_i)\notin S$，于是集合 $S$ 中元素的个数最多为$$\dfrac 12(10000-100)=4950.$$当 $a_i=i(i=1,2,\cdots ,100)$ 时，$S$ 中元素的个数为 $4950$，因此 $4950$ 可以取到．
综上知，$S$ 中的元素最多为 $4950$ 个．
题目
答案
解析
备注
