题目 设集合 $I=\{1,2,3,4,5\}$，选择 $I$ 的两个非空子集 $A,B$，要使 $B$ 中最小的数大于 $A$ 中最大的数，则不同的选择方法共有<nn> </nn>种． 答案 $49$ 解析 考虑 $A$ 中最大的数为 $k$，那么 $A$ 可以是 $1,2,3,4,5$ 中比 $k$ 小的数构成的集合的子集与 $\{k\}$ 的并集，而 $B$ 可以是 $1,2,3,4,5$ 中比 $k$ 大的数构成的集合的非空子集，因此不同的选择方法数按 $k$ 分为 $4$ 类，总数为$$2^0(2^4-1)+2^1(2^3-1)+2^2(2^2-1)+2^3(2^1-1)=15+14+12+8=49.$$ 备注 一般的，对 $n$ 元集合，有$$2^0(2^{n-1}-1)+2^1(2^{n-2}-1)+\cdots+2^{n-2}\cdot (2^1-1)=(n-2)2^{n-1}+1$$个不同的选择方法．<br/>如下，可以给通项一个解释．<br/>先从 $\{1,2,3,\cdots,n\}$ 中随意选择一个数 $k$ 放入集合 $A$ 中，然后从剩下的 $n-1$ 个数挑出若干数，其中比 $k$ 大的放在集合 $B$ 中，比 $k$ 小的放在集合 $A$ 中，共有 $n\cdot 2^{n-1}$ 种方法．但是此时会有集合 $B$ 为空集的情形，其个数分别为集合 $\{1,2,3,\cdots,n\}$ 的子集中最大元素为 $k$ 的子集数，于是需要排除 $2^n-1$ 种方法（即集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的非空子集数），总数为$$n\cdot 2^{n-1}-(2^n-1)=(n-2)\cdot 2^{n-1}+1.$$每日一题[430]给我一个合理的解释．