已知 $A,B,C$ 是 $\{1,2,\ldots,7\}$ 的子集，且满足 $|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1, A\cap B\cap C=\emptyset$．则这样的三元组 $(A,B,C)$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
【答案】
$53760$
【解析】
设 $A,B,C$ 为 $X=\{1,2,\ldots,7\}$ 的满足条件的子集，则存在 $X$ 的三个不同元素 $a,b,c$ 使得$$A\cap B=\{a\}, B\cap C=\{b\}, C\cap A=\{c\}.$$故 $\{a,b,c\}$ 的取法由 $A^3_7=210$ 种．
又 $A,B,C$ 的其余元素只能在剩下的 $4$ 个元素中选取，且每个元素至多属于其中一个集合，即每个元素只有 $4$ 种可能：属于 $A$，属于 $B$，不属于 $A\cup B\cup C$．因此，这样的三元组 $(A,B,C)$ 的个数为 $210\times 4^4=53760$．
又 $A,B,C$ 的其余元素只能在剩下的 $4$ 个元素中选取，且每个元素至多属于其中一个集合，即每个元素只有 $4$ 种可能：属于 $A$，属于 $B$，不属于 $A\cup B\cup C$．因此，这样的三元组 $(A,B,C)$ 的个数为 $210\times 4^4=53760$．
题目
答案
解析
备注
