对于集合 $N=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合 $\{1,2,4,6,9\}$ 的交替和是 $9-6+4-2+1=6$，集合 $\{5\}$ 的交替和为 $5$．当集合 $N$ 中的 $n=2$ 时，集合 $N=\{1,2\}$ 的所有非空子集为 $\{1\},\{2\},\{1,2\}$，则它的“交替和”的总和 $S_2=1+2+(2-1)=4$，请你尝试对 $n=3,n=4$ 的情况，计算它的“交替和”的总和 $S_3$ = ，$S_4$ = ，并根据其结果猜测集合 $N=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 的每一个非空子集的“交替和”的总和 $S_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$12$，$32$，$n\cdot2^{n-1}$
【解析】
当 $n=3$ 时，$N=\{1,2,3\}$，其非空子集为$$\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}.$$其交替和为$$1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12.$$当 $n=4$ 时，$N=\{1,2,3,4\}$，其非空子集为\[\begin{split}&\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\\ &\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\\ &\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\\ &\{1,2,3,4\},\end{split}\]至此，我们知道$$S_2=4,S_3=12,S_4=32,$$在上面的计算中，并没有发现规律，无法进行归纳总结．
从递推的的角度重新思考计算过程．
我们从 $n=2$ 到 $n=3$ 时，加进了新的元素 $3$，从而引入了新的一些子集 $\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$，而之前的那些子集的交替和是不变的．
我们考虑新引入的这些子集的交替和，可以发现它们的和恰好就是“$3\times$ 新引入子集个数 $k-S_2$”．
因此可以得到 $S_3=S_2+3k-S_2=3k$，而新引入的子集个数占所有子集个数的一半，于是 $k=2^{3-1}$．
这个计算过程可以推广到一般情形，结论也可以相应的写为一般形式 $S_n=n\cdot2^{n-1}$．
从递推的的角度重新思考计算过程．
我们从 $n=2$ 到 $n=3$ 时，加进了新的元素 $3$，从而引入了新的一些子集 $\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$，而之前的那些子集的交替和是不变的．
我们考虑新引入的这些子集的交替和，可以发现它们的和恰好就是“$3\times$ 新引入子集个数 $k-S_2$”．
因此可以得到 $S_3=S_2+3k-S_2=3k$，而新引入的子集个数占所有子集个数的一半，于是 $k=2^{3-1}$．
这个计算过程可以推广到一般情形，结论也可以相应的写为一般形式 $S_n=n\cdot2^{n-1}$．
题目
答案
解析
备注
