集合$$M=\left\{a\in\mathbb{Z}~|~ a=\frac{x+y+z}{t}, 3^x+3^y+3^z=3^t
, x,y,z,t\in\mathbb{Z}\right\}$$中所有元素之和等于 ．
, x,y,z,t\in\mathbb{Z}\right\}$$中所有元素之和等于
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$12$
【解析】
不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，则$$3^t=3^x+3^y+3^z\leqslant 3\times 3^z=3^{z+1} \Rightarrow t\leqslant z+1.$$又由 $3^t > 3^z$，知 $t > z$，故 $z<t\leqslant z+1 \Rightarrow t=z+1$．于是$$\begin{aligned}3\times 3^z&=3^{z+1}=3^x+3^y+3^z\\
&\Rightarrow x=y=z=t-1\\ &\Rightarrow a=\frac{3t-3}{t}=3-\frac{3}{t}.\\
\end{aligned}$$由于 $a,t$ 都是整数，故 $t=\pm 1$ 或 $\pm 3$．因此，$a=0,2,4,6$，即 $M = \{0,2,4,6\}$，其所有元素的 和为 $12$．
&\Rightarrow x=y=z=t-1\\ &\Rightarrow a=\frac{3t-3}{t}=3-\frac{3}{t}.\\
\end{aligned}$$由于 $a,t$ 都是整数，故 $t=\pm 1$ 或 $\pm 3$．因此，$a=0,2,4,6$，即 $M = \{0,2,4,6\}$，其所有元素的 和为 $12$．
题目
答案
解析
备注
