设函数 $f(x)=\dfrac {a^x}{1+a^x}$（$a>0$ 且 $a\ne 1$），$[m]$ 表示不超过实数 $m$ 的最大整数，则函数 $\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right]$ 的最大值与最小值之和是 ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-1$
【解析】
先考察 $f(x)-\dfrac 12$ 与 $f(-x)-\dfrac 12$ 之间的联系．因为$$f(-x)=\dfrac {a^{-x}}{1+a^{-x}}=\dfrac {1}{a^x+1},$$所以 $f(x)+f(-x)=1$．
从而 $f(x)-\dfrac 12$ 与 $f(-x)-\dfrac 12$ 的和为 $0$．
再考虑到 $f(x)$ 的取值范围为 $(0,1)$，所以$$f(x)-\dfrac 12\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right ).$$于是问题转化为求 $[t]+[-t]$（$t\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$）的取值范围：
当 $t=0$ 时，$[t]+[-t]=0$；当 $t\ne 0$ 时，在数轴上考虑，$t,-t$ 是关于原点对称的两点，$[t],[-t]$ 是它们左边的整点，故有 $[-t]+[t]=-1$．
综上知，函数 $\left[f(x)-\dfrac 12\right]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$ 的值域是 $\{-1,0\}$．
从而 $f(x)-\dfrac 12$ 与 $f(-x)-\dfrac 12$ 的和为 $0$．
再考虑到 $f(x)$ 的取值范围为 $(0,1)$，所以$$f(x)-\dfrac 12\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right ).$$于是问题转化为求 $[t]+[-t]$（$t\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$）的取值范围：
当 $t=0$ 时，$[t]+[-t]=0$；当 $t\ne 0$ 时，在数轴上考虑，$t,-t$ 是关于原点对称的两点，$[t],[-t]$ 是它们左边的整点，故有 $[-t]+[t]=-1$．
综上知，函数 $\left[f(x)-\dfrac 12\right]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$ 的值域是 $\{-1,0\}$．
题目
答案
解析
备注
