已知函数 $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x$，若 $f(x)$ 的定义域为 $[m,n](m<n)$，值域为 $[km,kn](k>1)$，则 $n$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
因为 $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{2}$，所以有 $kn\leqslant \dfrac{1}{2}$，得 $n\leqslant \dfrac{1}{2k}<1$．故 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上是增函数，进而 $\begin{cases}
f(m)=-\dfrac{1}{2}m^2+m=km\\
f(n)=-\dfrac{1}{2}n^2+n=kn\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=0\\
n=2(1-k)<0\\
\end{cases}$（舍）或 $\begin{cases}n=0\\
m=2(1-k)<0\\
\end{cases}$ 故填 $0$．
f(m)=-\dfrac{1}{2}m^2+m=km\\
f(n)=-\dfrac{1}{2}n^2+n=kn\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=0\\
n=2(1-k)<0\\
\end{cases}$（舍）或 $\begin{cases}n=0\\
m=2(1-k)<0\\
\end{cases}$ 故填 $0$．
题目
答案
解析
备注
