已知 $f(x)=\begin{cases} x^2,&-1\leqslant x\leqslant 1,\\ f\left(\dfrac 12|x|-\dfrac 32\right),&|x|>1,\end{cases}$，若对任意 $k\ne 0$，方程 $f(x)=kx+b$ 恒有唯一实数解，则实数 $b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
函数 $f(x)$ 是偶函数，记 $a_0=-1$，且\[a_{n+1}=2a_n+3,n\in\mathbb N,\]则函数\[f(x)=\dfrac{\left(x-\dfrac{a_n+a_{n+1}}2\right)^2}{\left(\dfrac{a_{n+1}-a_n}2\right)^2},x\in [a_n,a_{n+1}],n\in\mathbb N.\]计算得\[a_n=2^{n+1}-3,n\in\mathbb N,\]于是\[f(x)=\dfrac{\left[(x-3(2^n-1)\right]^2}{4^n},x\in \left[2^{n+1}-3,2^{n+2}-3\right],\]如图．
考虑函数在 $A_n\left(2^{n+1}-3,1\right)$ 处的左切线 $l_1$ 与右切线 $l_2$：\[\begin{split} l_1:y=2^{2-n}[x-(2^{n+1}-3)]+1,\\
l_2:y=-2^{1-n}[x-(2^{n+1}-3)]+1,\end{split}\]它们的截距分别为\[b_1=-7+3\cdot 2^{2-n},b_2=5-3\cdot 2^{1-n},\]因此所求实数 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,-7]\cup[5,+\infty)$．
考虑函数在 $A_n\left(2^{n+1}-3,1\right)$ 处的左切线 $l_1$ 与右切线 $l_2$：\[\begin{split} l_1:y=2^{2-n}[x-(2^{n+1}-3)]+1,\\l_2:y=-2^{1-n}[x-(2^{n+1}-3)]+1,\end{split}\]它们的截距分别为\[b_1=-7+3\cdot 2^{2-n},b_2=5-3\cdot 2^{1-n},\]因此所求实数 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,-7]\cup[5,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
