在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A,\angle B,\angle C$ 所对的边分别为 $a,b,c$．若 $\angle C\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，则 $(c+a-b)(b+c-a)$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
【答案】
$(8\sqrt{2}-8,8)$
【解析】
记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S, T=(c+a-b)(b+c-a)$，则$$\begin{aligned}
&S=\frac{1}{2}ab\sin C,\\
&T=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-\cos C).\\
\end{aligned}$$这样就有$$\frac{T}{S}=\frac{4(1-\cos C)}{\sin C}=4\cdot \frac{2\sin^2\frac{C}{2}}{2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}=4\tan\frac{C}{2}\in (4(\sqrt{2}-1),4),$$所以 $(c+a-b)(b+c-a)$ 的取值范围是 $(8\sqrt{2}-8,8)$．
&S=\frac{1}{2}ab\sin C,\\
&T=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-\cos C).\\
\end{aligned}$$这样就有$$\frac{T}{S}=\frac{4(1-\cos C)}{\sin C}=4\cdot \frac{2\sin^2\frac{C}{2}}{2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}=4\tan\frac{C}{2}\in (4(\sqrt{2}-1),4),$$所以 $(c+a-b)(b+c-a)$ 的取值范围是 $(8\sqrt{2}-8,8)$．
题目
答案
解析
备注
