已知实数 $\alpha, \beta$ 满足 $csc(\alpha-2\beta), \csc\alpha, csc(\alpha+2\beta)$ 构成公差不为零的等差数列，则 $\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
【答案】
$\pm \sqrt{2}$
【解析】
由已知得$$\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin(\alpha-2\beta)}+\frac{1}{\sin(\alpha+2\beta)},$$故$$2\sin(\alpha-2\beta)\cdot \sin(\alpha+2\beta)=(\sin(\alpha-2\beta)+\sin(\alpha+2\beta))\sin\alpha$$即$$2\sin(\alpha-2\beta)\cdot \sin(\alpha+2\beta)=2\sin^2\alpha\cdot \cos 2\beta
.$$上式左边等于 $\cos 4\beta -\cos 2\alpha$，故$$\cos^22\beta-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\cdot\cos2\beta=\sin^2\alpha-2\sin^2\beta\cdot \sin^2\alpha,$$即$$\sin^22\beta=2\sin^2\beta\cdot \sin^2\alpha.$$若 $\sin\beta=0$，则原等差数列公差为 $0$．故 $\sin\beta\neq 0$，有 $2\cos^2\beta=\sin^2\alpha$．于是，$\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\pm\sqrt{2}$ 且可以取到．
.$$上式左边等于 $\cos 4\beta -\cos 2\alpha$，故$$\cos^22\beta-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\cdot\cos2\beta=\sin^2\alpha-2\sin^2\beta\cdot \sin^2\alpha,$$即$$\sin^22\beta=2\sin^2\beta\cdot \sin^2\alpha.$$若 $\sin\beta=0$，则原等差数列公差为 $0$．故 $\sin\beta\neq 0$，有 $2\cos^2\beta=\sin^2\alpha$．于是，$\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\pm\sqrt{2}$ 且可以取到．
题目
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解析
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