平面上有两条线段 $AB=3$，$AC=5$，且 $\angle BAC=\dfrac{\pi}6$，则线段 $AB$ 和 $AC$ 在该平面上任意一条直线 $l$ 上的投影的长度之和的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 32,\sqrt{34+15\sqrt 3}\right]$
【解析】
设投影直线的方向向量为 $\overrightarrow n$，记 $\langle \overrightarrow n,\overrightarrow {AB}\rangle =x$，注意到 $\cos(-x)=\cos x$，所以投影长度之和一定可以写成\[m=\left|3\cos x\right|+\left|5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|.\]设\[\begin{split}f(x)&=\left|3\cos x+5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|,\\
g(x)&=\left|3\cos x-5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|,\end{split}\]则\[m=\max\{f(x),g(x)\}.\]如图，作出函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象．
$m$ 的最大值即为函数 $f(x)$ 的最大值\[\sqrt{\left(3+\dfrac{5\sqrt 3}2\right)^2+\left(-\dfrac 52\right)^2}=\sqrt{34+15\sqrt 3}.\]$m$ 的最小值当\[3\cos x+5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)=3\cos x-5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\]时，也即 $x=\dfrac{\pi}3$ 取得，此时 $m=\dfrac 32$．
综上所述，所求投影的长度之和的取值范围是 $\left[\dfrac 32,\sqrt{34+15\sqrt 3}\right]$．
g(x)&=\left|3\cos x-5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|,\end{split}\]则\[m=\max\{f(x),g(x)\}.\]如图，作出函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象．
$m$ 的最大值即为函数 $f(x)$ 的最大值\[\sqrt{\left(3+\dfrac{5\sqrt 3}2\right)^2+\left(-\dfrac 52\right)^2}=\sqrt{34+15\sqrt 3}.\]$m$ 的最小值当\[3\cos x+5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)=3\cos x-5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\]时，也即 $x=\dfrac{\pi}3$ 取得，此时 $m=\dfrac 32$．综上所述，所求投影的长度之和的取值范围是 $\left[\dfrac 32,\sqrt{34+15\sqrt 3}\right]$．
题目
答案
解析
备注
