函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$，其中 $a,b\in\mathbb N$ 且 $a>2$，且满足 $\left\{x\mid f(x)=0\right\}=\left\{ x\mid f(f(x))=0\right\}$，则方程 $\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0$ 在 $x\in (0,30)$ 上的实数解个数为 ．（其中 $[x]$ 和 $\{x\}$ 分别表示 $x$ 的整数部分和小数部分．）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$19$
【解析】
由于方程 $f(x)=0$ 必然有解，设 $\alpha$ 是它的一个解，则根据题意，有\[f(f(\alpha))=f(0)=0,\]因此 $b=0$．此时 $f(f(x))=0$ 等价于\[a\sin f(x)=0,\]也即\[f(x)=k\pi,k\in\mathbb Z,\]因此\[\max\{\left|f(x)\right|\}<\pi,\]进而 $a=3$．
此时方程\[\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0\]即\[\sin^2[x]+\sin^2\{x\}=1.\]当 $k\leqslant x<k+1$（$k\in\mathbb N$）时，该方程即\[\sin ^2(x-k)=1-\sin^2k,\]考虑到左侧函数的值域为 $\left[0,\sin^21\right)$，因此当 $1-\sin^2k\in \left[0,\sin^21\right)$ 时该方程在区间 $[k,k+1)$ 上有一实数解．解上述关于 $k$ 的不等式可得\[\dfrac{\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{\pi}2+1+2n\pi\lor \dfrac{3\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi,\]其中 $n\in\mathbb Z$．注意到每个区间长度均为 $2$，且当 $n=4$ 时，区间 $\left(\dfrac{3\pi}2-1+2n\pi,\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi\right)$ 约为 $(28.8,30.8)$，因此当 $n=0,1,2,3,4$ 时，共对应 $19$ 个 $k$，因此所求的实数解的个数为 $19$．
此时方程\[\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0\]即\[\sin^2[x]+\sin^2\{x\}=1.\]当 $k\leqslant x<k+1$（$k\in\mathbb N$）时，该方程即\[\sin ^2(x-k)=1-\sin^2k,\]考虑到左侧函数的值域为 $\left[0,\sin^21\right)$，因此当 $1-\sin^2k\in \left[0,\sin^21\right)$ 时该方程在区间 $[k,k+1)$ 上有一实数解．解上述关于 $k$ 的不等式可得\[\dfrac{\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{\pi}2+1+2n\pi\lor \dfrac{3\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi,\]其中 $n\in\mathbb Z$．注意到每个区间长度均为 $2$，且当 $n=4$ 时，区间 $\left(\dfrac{3\pi}2-1+2n\pi,\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi\right)$ 约为 $(28.8,30.8)$，因此当 $n=0,1,2,3,4$ 时，共对应 $19$ 个 $k$，因此所求的实数解的个数为 $19$．
题目
答案
解析
备注
