在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A,\angle B, \angle C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$．若 $3\sin^2 B+7\sin^2C=2\sin A\sin B\sin C+2\sin^2A$，则 $\cos A=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【解析】
由正弦定理，知$$3b^2+7c^2=2bc\sin A+2a^2,$$故$$\begin{aligned}
2a^2&=2b^2+2c^2+b^2+5c^2-2bc\sin A\\
&\geqslant 2b^2+2c^2+2bc(\sqrt{5}-\sin A)\\
&\geqslant 2b^2+2c^2-4bc\cos A.\\
\end{aligned}$$这里，式 ① 用到了均值不等式 $b^2+5c^2\geqslant 2\sqrt{5}bc$，式 ② 用到了柯西不等式$$\sqrt{5}=\sqrt{((-2)^2+1^2)(\sin^2A+\cos^2A)}\geqslant -2\cos A+\sin A,$$即$$\sqrt{5}-\sin A\geqslant -2\cos A.$$式 ② 表明$$a^2\geqslant b^2+c^2-2bc\cos A,$$而在 $\triangle ABC$ 中，有余弦定理，知 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$．故式 ①，② 中的等号均成立．
其中，式 ② 中等号当且仅当 $\frac{\cos A}{-2}=\frac{\sin A}{1}$ 时成立，结合 $\sin^2 A+\cos^2 A=1$ 及 $\sin A>0$，易得 $\cos A=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
2a^2&=2b^2+2c^2+b^2+5c^2-2bc\sin A\\
&\geqslant 2b^2+2c^2+2bc(\sqrt{5}-\sin A)\\
&\geqslant 2b^2+2c^2-4bc\cos A.\\
\end{aligned}$$这里，式 ① 用到了均值不等式 $b^2+5c^2\geqslant 2\sqrt{5}bc$，式 ② 用到了柯西不等式$$\sqrt{5}=\sqrt{((-2)^2+1^2)(\sin^2A+\cos^2A)}\geqslant -2\cos A+\sin A,$$即$$\sqrt{5}-\sin A\geqslant -2\cos A.$$式 ② 表明$$a^2\geqslant b^2+c^2-2bc\cos A,$$而在 $\triangle ABC$ 中，有余弦定理，知 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$．故式 ①，② 中的等号均成立．
其中，式 ② 中等号当且仅当 $\frac{\cos A}{-2}=\frac{\sin A}{1}$ 时成立，结合 $\sin^2 A+\cos^2 A=1$ 及 $\sin A>0$，易得 $\cos A=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
题目
答案
解析
备注
