已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=0$，$a_{n+1}=a_{n}+4\sqrt{a_{n}+1}+4,n\geqslant 1$，则 $a_{n}=$ ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$4n^{2}-4n$
【解析】
根据题意，有\[a_{n+1}+1=\left(\sqrt{a_n+1}+2\right)^2,\]于是\[\sqrt{a_{n+1}+1}-\sqrt{a_n+1}=2,\]从而\[\sqrt{a_n+1}=2n-1,\]因此\[a_n=4n^2-4n,n\in\mathbb N^{\ast}.\]
题目
答案
解析
备注
