已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = \lg \left( {1 + \dfrac{2}{{{n^2} + 3n}}} \right)$，$n = 1 , 2 , \cdots $．${S_n}$ 是数列的前 $n$ 项和，则 $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = $ ．
【难度】
【出处】
2012年清华大学（高水平大学）自主选拔学业能力测试
【标注】
【答案】
$\lg 3$
【解析】
${a_n} = \lg \left( {\dfrac{{{n^2} + 3n + 2}}{{{n^2} + 3n}}} \right) = \lg \dfrac{{n + 1}}{n} - \lg \dfrac{{n + 3}}{{n + 2}}$，于是$${S_n} = \lg \dfrac{2}{1} + \lg \dfrac{3}{2} - \lg \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} - \lg \dfrac{{n + 3}}{{n + 2}},$$从而 $\lim \limits_{n \to + \infty } {S_n} = \lg 3$．
题目
答案
解析
备注
