已知 ${a_k} = \dfrac{{k + 2}}{{k ! + \left( {k + 1} \right)! + \left( {k + 2} \right)!}}$，则数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 前 $100$ 项和为 ．
【难度】
【出处】
2006年上海交通大学推优保送生考试
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{102 !}}$
【解析】
因为\[\begin{split}{a_k} &= \dfrac{{k + 2}}{{k ! + \left( {k + 1} \right)! + \left( {k + 2} \right)!}} = \dfrac{{k + 2}}{{k ! + \left( {k + 1} \right) \cdot k ! + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) \cdot k !}}\\& = \dfrac{{k + 2}}{{k !\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}} = \dfrac{1}{{k ! \cdot \left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{\left( {k + 2} \right)!}}\\& = \dfrac{{k + 2 - 1}}{{\left( {k + 2} \right)!}} = \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 2} \right)!}}.\end{split}\]所以$${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{100}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{102 !}}.$$
题目
答案
解析
备注
