已知 $\{a_n\}$ 是单调递增数列，且有 $a_1=4$，$a_{n+1}^2+a_n^2+81=18(a_{n+1}+a_n)+2a_{n+1}a_n$．则 $a_2=$ ，$a_n=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$25,(3n-1)^2$
【解析】
将 $a_1=4$ 代入题中等式，可得 $a_2=25$，题中等式可变形为$$(a_{n+1}+a_n)^2-18(a_{n+1}+a_n)+81=4a_{n+1}a_n,$$即\[(a_{n+1}+a_n-9)^2=4a_{n+1}a_n,\]结合数列 $\{a_n\}$ 单调递增，可知 $a_{n+1}+a_n\geqslant 4+25=29$，因此，上式开方得$$a_{n+1}+a_n-2\sqrt{a_{n+1}a_n}=9,$$即\[\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right)^2=9,\]即$$\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}=3,$$因此数列 $\{\sqrt{a_n}\}$ 是首项为 $2$，公差为 $3$ 的等差数列，故 $a_n=(3n-1)^2$．
题目
答案
解析
备注
