数列 $\{a_n\}$ 中 $a_n$ 是与 $\sqrt{n}$ 最接近的整数，$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2016}\dfrac{1}{a_n}=\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数．则 $p+q=$ ．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$449$
【解析】
记 $k$ 是与 $\sqrt{n}$ 最接近的整数，则有 $k=\left[\sqrt n+\dfrac 12\right]$，即$$k\leqslant \sqrt n+\dfrac 12<k+1,$$也即$$k^2-k+\dfrac 14\leqslant n<k^2+k+\dfrac 14,$$因此 $a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$ 为$$\underbrace{1,1}_{2 \text{个}},\underbrace{2,2,2,2}_{4 \text{个}},\cdots ,\underbrace{k,k,\cdots,k}_{2k \text{个}},\cdots ,\underbrace{44,44,\cdots ,44}_{88 \text{个}},\underbrace{45,45,\cdots ,45}_{36 \text{个}},$$进而可得$$\sum\limits_{n=1}^{2016}\dfrac{1}{a_n}=\sum\limits_{k=1}^{44}\left(\dfrac 1k\cdot 2k\right)+\dfrac 1{45}\cdot 36=\dfrac{444}5.$$
题目
答案
解析
备注
