过 $x^2-y^2=1$ 上的点 $P$ 作 $x+y-2=0$ 的垂线，垂足为 $Q$，则 $PQ$ 的中点的轨迹方程为 ．
【难度】
【出处】
2013年复旦大学千分考试题（节选）
【标注】
【答案】
$(x-y)(x+y-1)=\dfrac 12,x\ne \dfrac 54$
【解析】
设 $P(\sec\theta,\tan\theta)$，因为 $PQ$ 的斜率为 $1$，所以 $PQ$ 的直线方程为$$PQ:y-x=\tan\theta-\sec\theta,$$联立 $PQ$ 与 $x+y-2=0$ 得到点 $Q$ 的坐标为$$Q\left(1-\dfrac 12(\tan\theta-\sec\theta),1+\dfrac 12(\tan\theta-\sec\theta)\right),$$设中点坐标为 $(x,y)$，则有$$\begin{cases} 2x=1-\dfrac 12\tan\theta+\dfrac 32\sec\theta,\\2y=1+\dfrac 32\tan\theta-\dfrac 12\sec\theta,\end{cases}$$两式分别相加相减，再利用 $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$ 消元得$$(x-y)(x+y-1)=\dfrac 12,$$又点 $P$ 不在直线 $x+y-2=0$ 上，所以 $x\ne \dfrac 54$．
题目
答案
解析
备注
