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在平面直角坐标系中，已知点 $A\left(1,0\right)$，$B\left(0,-1\right)$，$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 上一个动点，则 $\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    辅助角公式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 题型
    >
    向量
  • 题型
    >
    函数
【答案】
$\left[0,1+\sqrt 2\right]$
【解析】
其他的点的坐标都已知，而点 $P$ 在半圆上运动，故可设点 $P$ 的坐标，因此可以通过坐标公式求数量积．设 $P\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$，$\alpha \in \left[0,{\mathrm \pi} \right]$，则 $\overrightarrow{BA}=\left(1,1\right)$，$\overrightarrow{BP}=\left(\cos \alpha ,\sin \alpha +1\right)$，因此\[\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}&\overset{\left[a\right]}=\cos \alpha +\sin \alpha +1\\&=\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm \pi} {4}\right)+1\in \left[0,1+\sqrt{2}\right].\end{split}\]（推导中用到：[a]）
题目 答案 解析 备注
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