在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$AB=3$，$AC=2$．若 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}(\lambda\in\mathbb R)$，且 $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4$，则 $\lambda$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2017年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{3}{11}$
【解析】
根据共线向量的表达，有\[\begin{split}
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}&\overset{[a]}=\left(\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 23\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\
&=-\dfrac 13\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB}+\dfrac 23\lambda \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}+\left(\dfrac 13\lambda-\dfrac 23\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\
&=-\frac 13\cdot 9+\dfrac 23\cdot 4\lambda +\left(\dfrac 13\lambda -\dfrac 23\right)\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ\\
&=\dfrac{11}3\lambda-5 =-4,\end{split}\]（[a]推导中用到：）解得 $\lambda=\dfrac 3{11}$．
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}&\overset{[a]}=\left(\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 23\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\
&=-\dfrac 13\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB}+\dfrac 23\lambda \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}+\left(\dfrac 13\lambda-\dfrac 23\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\
&=-\frac 13\cdot 9+\dfrac 23\cdot 4\lambda +\left(\dfrac 13\lambda -\dfrac 23\right)\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ\\
&=\dfrac{11}3\lambda-5 =-4,\end{split}\]（[a]推导中用到：）解得 $\lambda=\dfrac 3{11}$．
题目
答案
解析
备注
