查看数据源：599165c52bfec200011e0ca6
如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB = 8$，$AD = 5$，$ \overrightarrow {CP} = 3\overrightarrow {PD}$，$ \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {BP} = 2 $，则 $ \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} $ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考江苏卷
【标注】
  • 知识点
    >
    高中视角下的解析几何
    >
    平面向量与平面直角坐标系
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 题型
    >
    向量
【答案】
$ 22 $
【解析】
将 $\left\{ \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD} \right\}$ 看作基底．然后将 $\overrightarrow {AP}$ 和 $\overrightarrow {BP}$ 都用 $\left\{\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD}\right\}$ 表示，通过它们的数量积为 $2$ 建立方程，从而求出 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}$．根据平面向量的加减法及数乘可得\[\overrightarrow {AP}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DP}=\overrightarrow {AD}+\dfrac 14\overrightarrow {AB},\]\[\overrightarrow {BP}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CP}=\overrightarrow {AD}-\dfrac 34\overrightarrow {AB},\]根据平面向量的数量积得\[\begin{split}\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {BP}&=\left(\overrightarrow {AD}+\dfrac 14\overrightarrow {AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow {AD}-\dfrac 34\overrightarrow {AB}\right)\\&=\left|\overrightarrow {AD}\right|^2-\dfrac 12\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}-\dfrac 3{16}\left|\overrightarrow {AB}\right|^2\\&=25-\dfrac 12\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}-12=2,\end{split}\]所以\[\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}=22.\]
题目 答案 解析 备注
0.111579s