我们用 $\overrightarrow a\angle\theta$ 表示将 $\overrightarrow a$ 逆时针旋转 $\theta$ 角后所得到的新向量，则这种新运算有$$\begin{split} &\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\angle\theta=\overrightarrow a\angle\theta+\overrightarrow b\angle\theta,\\&\left(\overrightarrow a\angle\alpha\right)\angle\beta=\overrightarrow a\angle \left(\alpha+\beta\right).\end{split} $$于是\[\begin{split}\overrightarrow{a}_n=&\overrightarrow{b}_{n-1}+\overrightarrow b=\overrightarrow{a}_{n-1}\angle\dfrac{\mathrm \pi} 4+\overrightarrow b\\=&\left(\overrightarrow{a}_{n-2}\angle\dfrac{\mathrm \pi} 4+\overrightarrow b\right)\angle\dfrac{\mathrm \pi} 4+\overrightarrow b=\overrightarrow{a}_{n-2}\angle\dfrac{2{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{\mathrm \pi} 4+\overrightarrow b\\=&\cdots\\=&\overrightarrow{a}_0\angle\dfrac{n{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{\left(n-1\right){\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{\left(n-2\right){\mathrm \pi}}4+\cdots+\overrightarrow b.\end{split}\]当 $n=2015$ 时，有\[\begin{split}\overrightarrow{a}_{2015}&=\overrightarrow{a}_0\angle\dfrac{2015{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{2014{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{2013{\mathrm \pi}}4+\cdots+\overrightarrow b\\&=\overrightarrow{a}_0\angle\dfrac{2015{\mathrm \pi}}4-\overrightarrow b\angle\dfrac{2015{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{2015{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{2014{\mathrm \pi}}4+\overrightarrow b\angle\dfrac{2013{\mathrm \pi}}4+\cdots+\overrightarrow b\\&=\left(\overrightarrow{a}_0-\overrightarrow b\right)\angle\dfrac{2015{\mathrm \pi}}4.\end{split}\]下图为上述计算中连续 $2016$ 个向量的和为零向量的解释：因此 $\left|\overrightarrow{a}_{2015}\right|=\left|\overrightarrow{a}_0-\overrightarrow b\right|=5$．