如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=BC=2$，$\angle ABC=120^\circ$．若平面 $ABC$ 外的点 $P$ 和线段 $AC$ 上的点 $D$，满足 $PD=DA$，$PB=BA$，则四面体 $PBCD$ 的体积的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
设 $CD=x$，则\begin{align*}
V_{PBCD}
&\leqslant \dfrac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot PD\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CB\cdot CD\cdot\sin\angle{BCD}\cdot PD\\
&=\dfrac{x\left(2\sqrt{3}-x\right)}{6}\\
&\leqslant\dfrac{1}{2},
\end{align*}当且仅当 $x=\dfrac{1}{2}AC=\sqrt{3}$ 且 $PD\perp AD$ 时等号成立．
综上所述，四面体 $PBCD$ 的体积的最大值是 $\dfrac{1}{2}$．
V_{PBCD}
&\leqslant \dfrac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot PD\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CB\cdot CD\cdot\sin\angle{BCD}\cdot PD\\
&=\dfrac{x\left(2\sqrt{3}-x\right)}{6}\\
&\leqslant\dfrac{1}{2},
\end{align*}当且仅当 $x=\dfrac{1}{2}AC=\sqrt{3}$ 且 $PD\perp AD$ 时等号成立．
综上所述，四面体 $PBCD$ 的体积的最大值是 $\dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
