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如图，正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 的棱长为 $ 1 $，$P$ 为 $BC$ 的中点，$Q$ 为线段 $C{C_1}$ 上的动点，过点 $A$，$P$，$Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．① 当 $0 < CQ < \dfrac{1}{2}$ 时，$S$ 为四边形；
② 当 $CQ = \dfrac{1}{2}$ 时，$S$ 为等腰梯形；
③ 当 $CQ = \dfrac{3}{4}$ 时，$S$ 与 ${C_1}{D_1}$ 的交点 $R$ 满足 ${C_1}R = \dfrac{1}{3}$；
④ 当 $\dfrac{3}{4} < CQ < 1$ 时，$S$ 为六边形；
⑤ 当 $CQ = 1$ 时，$S$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 6 }{2}$．
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    点线面的位置关系
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
    >
    空间几何体的截面
  • 题型
    >
    立体几何
【答案】
①②③⑤
【解析】
直接作出截面，要求很高的空间想象力，我们可以根据平面的基本性质，取 $ AD $ 的中点 $E$，在 $ DD_1 $ 上截取 $DF=CQ$，过 $A$ 作 $ EF $ 的平行线来确定截面．当 $0 < CQ < \dfrac{1}{2}$ 时，由平面的基本性质知，截面 $S $ 与棱 $ DD_1$ 相交（不含端点），所以 $S$ 为四边形，故 ① 正确；
当 $CQ = \dfrac{1}{2}$ 时，此时可得 $PQ \parallel AD_1 $，此时截面 $S $ 为四边形 $ APQD_1$，又因为 $ AP=QD_1=\dfrac {\sqrt 5}{2} $，所以 $S$ 为等腰梯形，故 ② 正确；
当 $CQ = \dfrac{3}{4}$ 时，如图，延长 $ DD_1 $ 至 $ N $，使 $ D_1N=\dfrac 12 $，连接 $ AN $ 交 $ A_1D_1 $ 于 $ S$，取 $ AD $，$ DN $ 的中点分别为 $ E $，$ F$，连接 $ EF $．因为 $ PQ \parallel EF $，$EF \parallel AN $，所以 $PQ \parallel AN $，所以截面 $ S $ 在平面 $ APQN $ 上，连接 $QN $ 则交 $C_1D_1 $ 于 $ R $，连接 $ SR $．易得 $\triangle NRD_1 \backsim \triangle QRC_1 $，可得 $ C_1R=\dfrac 13 $，故 ③ 正确；由 ③ 可知，当 $\dfrac{3}{4} < CQ < 1$ 时，$S$ 的形状仍然像五边形 $ APQRS$，故 ④ 错误；
当 $CQ = 1$ 时，取 $A_1D_1$ 的中点为 $ M $，由平面的基本性质知，截面 $S $ 为菱形 $APC_1M $，其面积为 $\dfrac{\sqrt 6 }{2}$，故 ⑤ 正确．．
题目 答案 解析 备注
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