已知直角三角形 $ABC$ 的两条直角边 $AC=2$，$BC=3$，$P$ 为斜边 $AB$ 上一点，将 $CP$ 将此三角形折成直二面角 $A-CP-B$，当 $AB=\sqrt 7$ 时，二面角 $P-AC-B$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$\arctan \sqrt 2$
【解析】
如图，在平面 $PCB$ 内过 $P$ 作直二面角 $A-CP-B$ 的棱 $CP$ 的垂线交边 $BC$ 于 $E$，则 $EP\perp ACP$．
于是在平面 $PAC$ 中过 $P$ 作二面角 $P-AC-B$ 的棱 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$，连接 $DE$，则 $\angle PDE$ 为二面角 $P-AC-B$ 的平面角，且 $\tan\angle PDE=\dfrac{EP}{PD}$．
根据三射线定理，有$$\cos\angle ACB=\cos\angle ACP\cdot\cos\angle BCP,$$于是$$\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\cos\angle ACP\cdot\sin \angle ACP,$$解得$$\angle ACP=\dfrac {\pi}{4},$$如图．
因此所求二面角 $P-AC-B$ 的值为 $\arctan \sqrt 2$．
于是在平面 $PAC$ 中过 $P$ 作二面角 $P-AC-B$ 的棱 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$，连接 $DE$，则 $\angle PDE$ 为二面角 $P-AC-B$ 的平面角，且 $\tan\angle PDE=\dfrac{EP}{PD}$．根据三射线定理，有$$\cos\angle ACB=\cos\angle ACP\cdot\cos\angle BCP,$$于是$$\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\cos\angle ACP\cdot\sin \angle ACP,$$解得$$\angle ACP=\dfrac {\pi}{4},$$如图．
因此所求二面角 $P-AC-B$ 的值为 $\arctan \sqrt 2$．
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