设 $l_1,l_2,l_3$ 为空间中互相平行且两两间的距离分别为 $4,5,6$ 的直线．给出下列三个结论：
① 存在 $A_i\in l_i$（$i=1,2,3$），使得 $\triangle A_1A_2A_3$ 是直角三角形；
② 存在 $A_i \in l_i$（$i=1,2,3$），使得 $\triangle A_1A_2A_3$ 是等边三角形；
③ 三条直线上存在四点 $A_i$（$i=1,2,3,4$），使得四面体 $A_1A_2A_3A_4$ 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
其中，所有正确结论的序号是 ．
① 存在 $A_i\in l_i$（$i=1,2,3$），使得 $\triangle A_1A_2A_3$ 是直角三角形；
② 存在 $A_i \in l_i$（$i=1,2,3$），使得 $\triangle A_1A_2A_3$ 是等边三角形；
③ 三条直线上存在四点 $A_i$（$i=1,2,3,4$），使得四面体 $A_1A_2A_3A_4$ 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
其中，所有正确结论的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②
【解析】
如图，设直线 $l_1,l_2,l_3$ 分别为“无底之直三棱柱”的三条“侧棱”$AD,BE,CF$，且平面 $ABC$ 与侧棱垂直，$AB=4$，$BC=5$，$CA=6$．
① 当 $A_1=A,A_2=B,A_3=C$ 时，$\angle A_1A_2A_3<\dfrac{\pi}2$；当 $A_1$ 向下运动，$A_3$ 向上运动时，$\angle A_1A_2A_3$ 趋于 ${\pi}$；因此必然在某个时刻 $\angle A_1A_2A_3=\dfrac{\pi}2$，命题成立；
② 取 $A_2=B$，$A_1$ 位于 $A$ 点上方且 $A_1A=3$，$A_3=C$，则 $A_1A_2=A_2A_3=5$，$A_1A_3>6$，此时 $\angle A_1A_2A_3>\dfrac{\pi}3$；让 $A_1,A_3$ 同时向上运动，且保持 $A_1A_2=A_3A_2$，则 $\angle A_1A_2A_3$ 趋于 $0$，必然存在某个时刻 $\angle A_1A_2A_3=\dfrac{\pi}3$，命题成立；
③ 显然四个点中有两个点位于同一条直线上，设为 $A_1,A_2$，另外两点分别落在其他两条直线上．$A_3,A_4$ 显然不可能为直角顶点，因此 $A_1$ 或 $A_2$ 为直角顶点，不妨设 $A_1$ 为直角顶点，则 $A_3A_1\perp A_1A_2$，$A_4A_1\perp A_1A_2$，因此 $\angle A_3A_1A_4$ 为二面角的平面角，且其大小与 $\triangle ABC$ 的某个内角相同，不可能为 $\dfrac{\pi}2$．因此不可能存在符合题意的四面体．
综上所述，命题 ①② 正确．
① 当 $A_1=A,A_2=B,A_3=C$ 时，$\angle A_1A_2A_3<\dfrac{\pi}2$；当 $A_1$ 向下运动，$A_3$ 向上运动时，$\angle A_1A_2A_3$ 趋于 ${\pi}$；因此必然在某个时刻 $\angle A_1A_2A_3=\dfrac{\pi}2$，命题成立；② 取 $A_2=B$，$A_1$ 位于 $A$ 点上方且 $A_1A=3$，$A_3=C$，则 $A_1A_2=A_2A_3=5$，$A_1A_3>6$，此时 $\angle A_1A_2A_3>\dfrac{\pi}3$；让 $A_1,A_3$ 同时向上运动，且保持 $A_1A_2=A_3A_2$，则 $\angle A_1A_2A_3$ 趋于 $0$，必然存在某个时刻 $\angle A_1A_2A_3=\dfrac{\pi}3$，命题成立；
③ 显然四个点中有两个点位于同一条直线上，设为 $A_1,A_2$，另外两点分别落在其他两条直线上．$A_3,A_4$ 显然不可能为直角顶点，因此 $A_1$ 或 $A_2$ 为直角顶点，不妨设 $A_1$ 为直角顶点，则 $A_3A_1\perp A_1A_2$，$A_4A_1\perp A_1A_2$，因此 $\angle A_3A_1A_4$ 为二面角的平面角，且其大小与 $\triangle ABC$ 的某个内角相同，不可能为 $\dfrac{\pi}2$．因此不可能存在符合题意的四面体．
综上所述，命题 ①② 正确．
题目
答案
解析
备注
