如图，圆形纸片的圆心为 $O$，半径为 $5\mathrm{cm}$，该纸片上的等边三角形 $ABC$ 的中心为 $O$．$D,E,F$ 为圆 $O$ 上的点，$\triangle DBC,\triangle ECA,\triangle FAB$ 分别是以 $BC,CA,AB$ 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 $BC,CA,AB$ 为折痕折起 $\triangle DBC,\triangle ECA,\triangle FAB$，使得 $D,E,F$ 重合，得到三棱锥．当 $\triangle ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：$\mathrm{cm}^3$）的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（理）
【标注】
【答案】
$4\sqrt{15}$
【解析】
连接 $OD$，交 $BC$ 于 $H$，如图．
设 $BC=2x$，则 $0<2x<5\sqrt 3$，$OH=\dfrac {x}{\sqrt 3}$，$DH=5-\dfrac {x}{\sqrt 3}$．所以\[\begin{split}V&=\dfrac 13 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}\cdot (2x)^2\cdot \sqrt {\left(5-\dfrac {x}{\sqrt 3}\right)^2- \left(\dfrac {x}{\sqrt 3}\right)^2}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot x^2 \cdot \sqrt {25-\dfrac {10x}{\sqrt 3}}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot \sqrt { x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot \dfrac {10}{\sqrt 3}\left(\dfrac {5\sqrt 3}{2}-x\right)}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot \sqrt { x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot \dfrac {5}{2\sqrt 3}\left( {10\sqrt 3} -4x\right)}\\&\overset{[a]}\leqslant \dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot \sqrt {\dfrac {5}{2\sqrt 3}\left(\dfrac {10\sqrt 3}{5} \right)^5} \\&= 4\sqrt {15}.\end{split}\]（其中 $[a]$：）
当 $x=2\sqrt 3$ 时取等号．
设 $BC=2x$，则 $0<2x<5\sqrt 3$，$OH=\dfrac {x}{\sqrt 3}$，$DH=5-\dfrac {x}{\sqrt 3}$．所以\[\begin{split}V&=\dfrac 13 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}\cdot (2x)^2\cdot \sqrt {\left(5-\dfrac {x}{\sqrt 3}\right)^2- \left(\dfrac {x}{\sqrt 3}\right)^2}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot x^2 \cdot \sqrt {25-\dfrac {10x}{\sqrt 3}}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot \sqrt { x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot \dfrac {10}{\sqrt 3}\left(\dfrac {5\sqrt 3}{2}-x\right)}\\&=\dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot \sqrt { x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot \dfrac {5}{2\sqrt 3}\left( {10\sqrt 3} -4x\right)}\\&\overset{[a]}\leqslant \dfrac {\sqrt 3}{3}\cdot \sqrt {\dfrac {5}{2\sqrt 3}\left(\dfrac {10\sqrt 3}{5} \right)^5} \\&= 4\sqrt {15}.\end{split}\]（其中 $[a]$：）当 $x=2\sqrt 3$ 时取等号．
题目
答案
解析
备注
