$\left(a+x\right)\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和为 $32$，则 $a=$ ．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
本题的代数式是两个二项式积的形式，我们既可以逐个考虑，各个击破再“合并”，也可以设出展开式，再用赋值法求解．法一：
$\left(a+x\right)\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项可分为两种，一种是 $x$ 与 $\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的偶数次幂项的积，另一种是 $a$ 与 $\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的积，所以 $2^{4-1}+2^{4-1}a=32$，解得 $a=3$．
法二：
设 $\left(a+x\right)\left(1+x\right)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$．
令 $x=1$，得\[\left(a+1\right)\cdot2^4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5. \]令 $x=-1$，得\[0=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5. \]上述两式相减得 $16\left(a+1\right)=2\left(a_1+a_3+a_5\right)=2\cdot32$，解得 $a=3$．
$\left(a+x\right)\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项可分为两种，一种是 $x$ 与 $\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的偶数次幂项的积，另一种是 $a$ 与 $\left(1+x\right)^4$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的积，所以 $2^{4-1}+2^{4-1}a=32$，解得 $a=3$．
法二：
设 $\left(a+x\right)\left(1+x\right)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$．
令 $x=1$，得\[\left(a+1\right)\cdot2^4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5. \]令 $x=-1$，得\[0=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5. \]上述两式相减得 $16\left(a+1\right)=2\left(a_1+a_3+a_5\right)=2\cdot32$，解得 $a=3$．
题目
答案
解析
备注
