已知 $(1+x)^{50}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{50}x^{50}$，则 $a_1+2a_2+3a_3+\cdots+25a_{25}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$50\cdot 2^{48}$
【解析】
对已知等式两侧分别求导得到所需要的系数$$50(1+x)^{49}=\sum_{k=1}^{50}\left(k\cdot a_kx^{k-1}\right),$$令 $x=1$，可得\[50\cdot 2^{49}=a_1+2a_2+\cdots+25a_{25}+26a_{26}+\cdots+50a_{50},\]注意到左侧系数的对称性，可得\[\begin{split} a_1&=50a_{50},\\ 2a_2&=49a_{49},\\ \cdots,\\ 25a_{25}&=26a_{26},\end{split}\]因此\[a_1+2a_2+3a_3+\cdots+25a_{25}=50\cdot 2^{48}.\]
题目
答案
解析
备注
