从不超过 $2013$ 的正整数集合 $\{1,2,3,\cdots,2013\}$ 中先后取出两个正整数 $a,b$（$a,b$ 可以相等）组成数对 $(a,b)$，$(a,b)$ 恰为方程 $x^{3}+y^{3}=x^{2}y^{2}$ 的解的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m, n$ 是互质的正整数，则 $m+n=$ ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$4052170$
【解析】
先研究 $x^{3}+y^{3}=x^{2}y^{2}$ 的正整数解．
设 $(x,y)$ 为该方程的满足 $x\geqslant y$ 的正整数解，则 $x^{2}\mid y^{3}$，所以 $y^{3}\geqslant x^{2}$，即\[4y^{3}\geqslant 4x^{2}\cdots\cdots \text{ ① }\]又 $x\geqslant y$，所以$$x^{2}y^{2}=x^{3}+y^{3}\leqslant 2x^{3},$$因此 $y^{2}\leqslant 2x$，即\[y^{4}\leqslant 4x^{2}\cdots\cdots\text{ ② }\]由 ①② 得 $y\leqslant 4$．
情形一 当 $y=4$ 时，$x^{3}-16x^{2}+64=0$ 的有理数解只可能是 $64$ 的整因子，经检验均不成立．
情形二 当 $y=3$ 时，$x^{3}-9x^{2}+27=0$ 有理数解只可能是 $27$ 的整因子，经检验均不成立．
情形三 当 $y=2$ 时，$x^{3}-4x^{2}+8=0$ 的有理数解只可能是 $8$ 的整因子，经检验只有 $x=2$ 满足．
情形四 当 $y=1$ 时，$x^{3}-x^{2}+1=0$ 的有理数只可能是 $1$ 的整因子，经检验均不成立．
故此方程仅有一组解 $(x,y)=(2,2)$，因此本题结果为 $p=\dfrac{1}{2013^{2}}$．
设 $(x,y)$ 为该方程的满足 $x\geqslant y$ 的正整数解，则 $x^{2}\mid y^{3}$，所以 $y^{3}\geqslant x^{2}$，即\[4y^{3}\geqslant 4x^{2}\cdots\cdots \text{ ① }\]又 $x\geqslant y$，所以$$x^{2}y^{2}=x^{3}+y^{3}\leqslant 2x^{3},$$因此 $y^{2}\leqslant 2x$，即\[y^{4}\leqslant 4x^{2}\cdots\cdots\text{ ② }\]由 ①② 得 $y\leqslant 4$．
故此方程仅有一组解 $(x,y)=(2,2)$，因此本题结果为 $p=\dfrac{1}{2013^{2}}$．
题目
答案
解析
备注
