已知 $i$ 为虚数单位，则在 $(\sqrt{3}+i)^{10}$ 的展开式中，所有奇数项的和是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$512$
【解析】
易知 $(\sqrt{3}+i)^{10}$ 的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部．又 ${{\left(\sqrt{3}+i \right)}^{10}}={{\left[ \left( -2i \right)\left( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) \right]}^{10}}={{\left( -2i \right)}^{10}}{{\left( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^{10}}=\left( -1024 \right)\times \left( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=512-512\sqrt{3}i$．故填 $512$．
题目
答案
解析
备注
