若复数 $z$ 满足 $z^3+z=2|z|^2$，则这样的复数 $z$ 的集合是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
$\{0,1,-1+2i,-1-2i\}$
【解析】
由 $z^3+z=2|z|^2=2z\overline{z}$，得 $z(z^2+1-2\overline{z})=0$．
显然，$z=0$ 满足条件．当 $z\neq 0$ 时，$z^2+1-2\overline{z}=0$．
设 $z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$），则$$a^2-b^2+2abi+1-2(a-bi)=0.$$即$$a^2-b^2+1-2a=0,~~~~~ ① $$$$2ab+2b=0. ~~~~~ ② $$由式 $ ② $，得 $2b(a+1)=0$．
若 $b=0$，代入式 $ ① $，得 $(a-1)^2=0\Rightarrow a=1$．
若 $b\neq 0$，则 $a=-1$，代入式 $ ① $，得 $b^2=4\Rightarrow b=\pm 2$．
经检验，复数 $z=1,-1\pm 2i$ 均满足条件．因此，所求 $z$ 的集合为 $\{0,1,-1+2i,-1-2i\}$．
显然，$z=0$ 满足条件．当 $z\neq 0$ 时，$z^2+1-2\overline{z}=0$．
设 $z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$），则$$a^2-b^2+2abi+1-2(a-bi)=0.$$即$$a^2-b^2+1-2a=0,~~~~~ ① $$$$2ab+2b=0. ~~~~~ ② $$由式 $ ② $，得 $2b(a+1)=0$．
若 $b=0$，代入式 $ ① $，得 $(a-1)^2=0\Rightarrow a=1$．
若 $b\neq 0$，则 $a=-1$，代入式 $ ① $，得 $b^2=4\Rightarrow b=\pm 2$．
经检验，复数 $z=1,-1\pm 2i$ 均满足条件．因此，所求 $z$ 的集合为 $\{0,1,-1+2i,-1-2i\}$．
题目
答案
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备注
