已知复数 $z_1$ 和 $z_2$ 满足 $|z_1|\geqslant 1, |z_2|\geqslant \frac{3}{2}$，则复数 $i^{2017}z_1+i^{2019}z_2+2z_1z_2$ 的模长的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{2}$
【解析】
注意到$$z=i^{2017}z_1+i^{2019}z_2+2z_1z_2=2z_1z_2+iz_1-iz_2=\frac{1}{2}(2z_1-i)(2z_2+i)-\frac{1}{2},$$于是$$|z|\geqslant \frac{1}{2}|2z_1-i|\cdot |2z_2+i|-\frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{2}(2|z_2|-1)(2|z_2|-1)-\frac{1}{2}\geqslant \frac{1}{2}\times 1\times 2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$又当 $z_1=i, z_2=-\frac{3}{2}i$ 时，$|z|=\frac{1}{2}$．因此，所求的最小值为 $\frac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
