由于 $\big|z^3+3z+2{\mathrm i}\big|=\big|(z{\mathrm i})^3-3(z{\mathrm i})+2\big|$，因此问题等价于已知 $|z|=1$，求 $\big|z^3-3z+2\big|$ 的最大值．利用共轭复数，有\[\begin{split} \big|z^3-3z+2\big|^2&=\left(z^3-3z+2\right)\cdot\left(\overline z^3-3\overline z+2\right)\\ &=14+2\left(z^3+\overline z^3\right)-3\left(z^2+\overline z^2\right)-6\left(z+\overline z\right) \\ &=14+2\left(z+\overline z\right)\cdot\left[\left(z+\overline z\right)^2-3z\cdot \overline z\right]-3\left[\left(z+\overline z\right)^2-2z\cdot \overline z\right]-6\left(z+\overline z\right)\\ &=2x^3-3x^2-12x+20,\end{split}\]其中 $x=z+\overline z=2{\mathrm Re}(z)$，且 $x\in [-2,2]$，设 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+20$，则$$f'(x)=6(x+1)(x-2),$$于是当 $x=-1$ 时，$f(x)$ 取得最大值为 $27$．因此原式的最大值为 $3\sqrt 3$，当 $z=-\dfrac 12\pm \dfrac{\sqrt 3}2{\mathrm i}$ 时取得．