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已知函数 $f(x)$ 的图像与函数 $g(x)=2^x$ 关于直线 $y=x$ 对称，令 $h(x)=f(1-|x|)$，则关于函数 $h(x)$ 有以下命题：
（1）$h(x)$ 图像关于原点 $(0,0)$ 对称；
（2）$h(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称；
（3）$h(x)$ 的最小值为 $0$；
（4）$h(x)$ 在区间 $(-1,0)$ 上单调递增．
其中正确的是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的图象变换
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
（2）（4）
【解析】
由于函数 $f(x)$ 的图像与函数 $g(x)=2^x$ 关于直线 $y=x$ 对称，故函数 $f(x)$ 与函数 $g(x)=2^x$ 互为反函数．故函数 $f(x)=\log_2x$．$h(x)=f(1-|x|)=\log_2(1-|x|)$，故函数 $h(x)$ 是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称，故（2）正确而（1）不正确．函数 $h(x)$ 的定义域为 $(-1, 1)$，在 $(-1, 0)$ 上是增函数，在 $(0, 1)$ 上是减函数，故（4）正确．故当 $x=0$ 时，函数 $h(x)$ 取得最大值为 $0$，故（3）不正确．
题目 答案 解析 备注
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