已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，对任意 $x\in \mathbb{R}$ 都有 $f(-3-x)=f(1+x)$；在 $(-\infty,-1)$ 中任意取两个不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$ 恒成立；若 $f(2a-1)<f(3a-2)$，则实数a的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty, \dfrac{1}{5})\cup(1, +\infty)$
【解析】
由 $f(-3-x)=f(1+x)$ 可知函数 $f(x)$ 关于直线 $x=-1$ 对称．在 $(-\infty,-1)$ 中任意取两个不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$ 恒成立．可知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1)$ 上单调递减，由对称性可知函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,+\infty)$ 上单调递增．不妨设 $f(x)=(x+1)^2$，则由 $f(2a-1)<f(3a-2)$ 可得 $4a^2<(3a-1)^2$，解得 $a<\dfrac{1}{5}$ 或 $a>1$．因此本题答案为 $(-\infty, \dfrac{1}{5})\cup(1, +\infty)$．
题目
答案
解析
备注
