已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=f(x)+1$，当 $x\in[0,1]$ 时，$f(x)=|3x-1|-1$．若对任意实数 $x$，都有 $f(x-t)<f(x)$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$( \dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3} )\cup( \dfrac{4}{3},+\infty)$
【解析】
$( \dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3} )\cup( \dfrac{4}{3},+\infty)$ $\because x\in[0,1]$ 时，$f(x)=|3x-1|-1$，$\therefore $ 当 $x\in[0,\dfrac{1}{3}]$ 时，$f(x)=-3x$，$x\in(\dfrac{1}{3} ,1]$ 时，$f(x)=3x-2$，由 $f(x+1)=f(x)+1$，可得到 $f(x)$ 大致图形如图所示 由图可以看出，当 $x=\dfrac{1}{3}$ 时，即 $D$ 点．若 $t\leq0$ 时，$-t\geq0$，则存在 $f(\dfrac{1}{3} -t)\geqslant f(\dfrac{1}{3} )$，不满足题意．所以 $t>0$．由图中知，比 $D$ 小的为 $C$ 左边的区域，且不能为 $A$ 点．$C$ 点为 $f(-\dfrac{1}{3} )$，此时 $t=\dfrac{2}{3} $．所以 $t$ 的取值范围为：$( \dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3} )\cup( \dfrac{4}{3},+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
