分别取 $AB, AC$ 的中点 $D, E$，连接 $OD, OE$，可得 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{2}c^2, \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AC}\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}b^2$，设 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径为 $R$，由正弦定理可得 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$，由 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\cdot\overrightarrow{AC}=2\lambda\overrightarrow{OA}$，两边点乘 $\overrightarrow{OA}$，可得 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\cdot(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OA})+\dfrac{\cos C}{\sin B}\cdot(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA})=2\lambda\overrightarrow{OA}^2$，即 $-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{c}{\sin C}\cdot c\cos B-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{b}{\sin B}\cdot b\cos C=2\lambda R^2$，$\therefore -\dfrac{1}{2}\cdot2R(c\cos B+b\cos C)=2\lambda R^2$，$\therefore -(c\cdot\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+b\cdot\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=2\lambda R, \therefore -a=2\lambda R, \therefore \lambda=-\dfrac{a}{2R}=-\sin A=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．